\section{Měření}

Index lomu Lummerovy-Gehrckeovy desky v praktiku je dle \cite{417} 
\begin{equation}
N = 1,44263 + \frac{7,066}{\lambda - 144},  \label{eq:indexlomu}
\end{equation}
kde se vlnové délky dosazují v nanometrech. Což pro vlnovou délku červené čáry kadmia, která byla pozorována za účelem zpracování Zeemanova rozštěpení i kvantitativně, a~která má vlnovou délku $\lambda_0 = 643,8 \, {\rm nm}$ odpovídá indexu lomu $N = 1,4568$. Kvalitativně byla také pozorována čára zelená o vlnové délce $\lambda_z = 508,6 \, {\rm nm}$. Tloušťka Lummerovy-Gehrckeovy desky pak je $ d = 4,04 \, \mathrm{mm}$, což odpovídá disperzní oblasti pro červenou čáru $\Delta \lambda_D = 48,4 \, \mathrm{pm}$

Kalibrace magnetické indukce magnetů v závislosti na procházejícím proudu byla provedena pomocí Hallovy sondy. $1 \, \rm mV$ na voltmetru, který byl připojen na Hallovu sondu, odpovídal $100 \, \rm mT$. Kalibrace je zaznamenána v tabulce č.~\ref{tab:kalibraceI} a~grafu č.~\ref{graf:kalibraceI}. Naměřené hodnoty jsem sice proložil funkcí, ale pro účel určení $B$ při určitém $I$ beru přímo naměřenou hodnotu magnetické indukce (pro měření vzdáleností čar). A u~měření hodnot magnetické indukce u~rovnoměrného rozložení čar beru, že mezi sousedními naměřenými body kalibrace je závislost zhruba lineární. Prokládací funkci jsem zvolil jako $B = a~\left( 1 - e^{I/b} \right) $, kde fituji pomocí konstant $a$ a~$b$, protože se jedná o nasycování magnetů, které by se mělo blížit určité maximální hodnotě, čemuž právě tato funkce odpovídá, ale nesedí na naměřená data dostatečně přesně. Proložení bylo provedeno pomocí programu gnuplot.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Kalibrace aparatury pomocí Hallovy sondy} \label{tab:kalibraceI}
\begin{tabular}{rr}
\addlinespace
\toprule
$I$/A & $B$/T \\
\midrule
5,0   & 0,51 \\
6,0   & 0,60 \\
7,0   & 0,69 \\
8,0   & 0,76 \\
9,0   & 0,81 \\
10,0  & 0,85 \\
11,0  & 0,88 \\
12,0  & 0,91 \\
13,2  & 0,94 \\
14,4  & 0,96 \\
15,2  & 0,98 \\
16,0  & 1,00 \\
\bottomrule
\end{tabular}%
\end{center}%
\end{table}

\begin{figure}
\begin{center}
\input{grafkalibraceI.tex}
\caption{Kalibrace aparatury pomocí Hallovy sondy}
\label{graf:kalibraceI}
\end{center}
\end{figure}

V průběhu měření jsem pozoroval, jak normální Zeemanův jev a~polarizace jednotlivých složek tripletu, resp. dubletu - podle natočení aparatury - pomocí polarizačního filtru a~čtvrtvlnné destičky. Při pozorování kolmo na magnetické pole se dala pomocí polarizačního filtru prostřední složka odbourat, což mi právě umožnilo dva módy měření rovnoměrného rozštěpení. Stejně tak byly polarizovány i~rozštěpené složky, ale ve směru kolmém na střední složku. Při pozorování ve směru magnetického pole na samotný polarizační filtr dvě rozštěpené čáry nereagovaly, ale když jsem použil čtvrtvlnnou destičku, tak jsem převedl jejich kruhovou polarizaci na lineární a~pak jsem pozoroval, že původně byly kruhově polarizované na opačné směry, protože pomocí polarizačního filtru jsem dokázal odstínit vždy jenom jednu. Obdobně jsem pozoroval i zelenou čáru kadmia, na které obšem docházelo k rozštěpení na 9 složek, kdy vždy tři sousední složky se chovaly vždy stejně - měly stejnou polarizaci. Ovšem zcela rozlišit dostatečně pro potřeby měření tak, jako červené čáry, se mi je rozlišit nepodařilo.

Při měření Zeemanovského rozštěpení u~červené čáry kadmia kolmo na magnetickou indukci jsem změřil oba možné módy - rovnoměrně rozložené triplety i rovnoměrně rozložené rozštěpené dublety, kde prostřední část tripletu byla potlačena pomocí polarizačního filtru. Naměřené hodnoty jsou v tabulce č.\ref{tab:rovnomernokolmo}. Měření pro oba módy jsem provedl vícekrát, abych mol odhadnout chybu způsobenou mými rozlišovacími a~pozorovacími schopnostmi. Střední hodnoty proudu, při kterých nastávají tyto módy jsou

$$ I_3 = \left( 10,6 \pm 0,3 \right) \, \mathrm{A}, $$
$$ I_4 = \left(  6,5 \pm 0,4 \right) \, \mathrm{A}. $$

To odpovídá hodnotám magnetické indukce

$$ B_3 = \left( 0,87 \pm 0,01 \right) \, \mathrm{T}, $$
$$ B_4 = \left( 0,65 \pm 0,04 \right) \, \mathrm{T}. $$

A to pak odpovídá rozštěpení čar 

$$ \Delta \lambda_3 = \left( 16,8 \pm 0,2 \right) \, \mathrm{pm}, $$
$$ \Delta \lambda_4 = \left( 12,6 \pm 0,8 \right) \, \mathrm{pm}. $$

Teorie předpovídá, že u~naší desky by měly být čáry rozštěpeny jako 

$$ \Delta \lambda_{t_3} = 16,1 \, \mathrm{pm}, $$
$$ \Delta \lambda_{t_4} = 12,1 \, \mathrm{pm}, $$
což v případě dvou čar, kvůli velké statistické nepřesnosti odpovídá naměřené hodnota, ale u~tripletů je vidět, že se naměřené hodnota odlišuje od teoreticky předpovězené.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Měření rovnoměrného rozložení spektrálních čar pro pozorování kolmo na $B$} \label{tab:rovnomernokolmo}
\begin{tabular}{cc}
\addlinespace
\toprule
$ \frac{\Delta \beta}{(\Delta \beta)'} = \frac{1}{3} $ & $ \frac{\Delta \beta}{(\Delta \beta)'} = \frac{1}{4} $ \\
\midrule
$I_3$/A & $I_4$/A \\
11,2  & 6,1 \\
10,7  & 6,5 \\
10,6  & 7,1 \\
10,8  & 6,8 \\
10,5  & 5,8 \\
10,4  & 6,7 \\
10,5  & 6,3 \\
10,2  & 6,4 \\
10,6  & 6,8 \\
\bottomrule
\end{tabular}%
\end{center}%
\end{table}

Naměřené hodnoty poloh čar pro jednotlivé nastavené hodnoty proudu jsou v~tabulce č.~\ref{tab:merenirozstepeni}. V~prvním řádku je hodnota nastaveného proudu, v~druhém je odpovídající hodnota magnetické indukce z kalibrace provedené na začátku měření. Dalších 8 řádků jsou naměřené hodnoty poloh interferenčních maxim. $K_i$ jsou pak poměry určené pro rovnici (\ref{eq:roztepeni}) a~$\Delta \lambda_i$ jsou tomu odpovídající rozštěpení. $\Delta \bar{ \lambda}$ je pak průměrná hodnota mezi dvěma naměřenými hodnotami $\Delta \lambda_1$ a~$\Delta \lambda_2$. Chybu měření zde explicitně nepočítám, ale vzhledem k~tomu, že je každé měření zatíženo chybou určení 4 poloh dalekohledu a~aproximací z~teorie, tak odhaduji chybu řádově na 10\% \~ 20\% (navíc při správném výpočtu by se měla chyba násobit Studentovým číslem, které je relativně vysoké, protože je malý počet měření pro jednotlivé proudy). Hodnotu $\Delta \bar{ \lambda}$ pak srovnávám s~teoretickou hodnotou $\Delta \lambda_t$, která odpovídá rozštěpení pro magnetickou indukci odpovídající naměřenému proudu. Poslední řádek je $\delta = \frac{ \left| \bar{ \lambda} - \lambda_t \right| }{\lambda_t}$, což je vlastně odchylka naměřené hodnoty od teoretické hodnoty. Tato shoda není příliš dobrá, ale pohybuje se do 20\%. Grafické znázornění jednotlivých $\Delta \lambda_1$ a~$\Delta \lambda_2$ je v obr. grafu č.~\ref{graf:rozstepeni}.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Měření rozštěpení spektrální čáry v závislosti na magnetické indukci} \label{tab:merenirozstepeni}
\begin{tabular}{rrrrrrrrr}
\addlinespace
\toprule
$I$/A & 6     & 8     & 9     & 9     & 10    & 12    & 12    & 15,6 \\
$B$/T & 0,60  & 0,76  & 0,81  & 0,81  & 0,85  & 0,91  & 0,91  & 0,98 \\
\midrule
$x_3$/mm & 2,08  & 2,04  & 3,68  & 5,95  & 2,31  & 5,99  & 3,09  & 1,92 \\
$y_2$/mm & 2,19  & 2,16  & 3,53  & 6,10  & 2,45  & 6,13  & 3,20  & 2,02 \\
$x_2$/mm & 2,22  & 2,19  & 3,47  & 6,16  & 2,52  & 6,19  & 3,26  & 2,07 \\
$z_2$/mm & 2,27  & 2,25  & 3,42  & 6,21  & 2,58  & 6,26  & 3,32  & 2,13 \\
$y_1$/mm & 2,37  & 2,32  & 3,35  & 6,28  & 2,68  & 6,31  & 3,37  & 2,18 \\
$x_1$/mm & 2,41  & 2,36  & 3,28  & 6,35  & 2,76  & 6,36  & 3,43  & 2,23 \\
$z_1$/mm & 2,46  & 2,42  & 3,23  & 6,38  & 2,85  & 6,42  & 3,51  & 2,29 \\
$x_0$/mm & 2,61  & 2,58  & 3,12  & 6,56  & 3,04  & 6,53  & 3,66  & 2,42 \\
\midrule
$K_2$ & 0,242 & 0,281 & 0,275 & 0,275 & 0,289 & 0,351 & 0,353 & 0,355 \\
$K_1$ & 0,231 & 0,256 & 0,343 & 0,250 & 0,327 & 0,324 & 0,350 & 0,314 \\
$\Delta \lambda_1$/pm & 11,7  & 13,6  & 13,3  & 13,3  & 14,0  & 17,0  & 17,1  & 17,2 \\
$\Delta \lambda_2$/pm & 11,2  & 12,4  & 16,6  & 12,1  & 15,8  & 15,7  & 16,9  & 15,2 \\
$\Delta \bar{ \lambda}$/pm & 11,5  & 13,0  & 15,0  & 12,7  & 14,9  & 16,3  & 17,0  & 16,2 \\
\midrule
$\Delta \lambda_t$/pm & 11,6  & 14,7  & 15,7  & 15,7  & 16,4  & 17,6  & 17,6  & 19,0 \\
$\delta$ & 1,3\% & 11,5\% & 4,6\% & 18,9\% & 9,3\% & 7,2\% & 3,3\% & 14,6\% \\
\bottomrule
\end{tabular}%
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}
\begin{center}
\input{grafrozstepeni.tex}
\caption{Jednotlivé naměřené body hodnot rozštěpení v závislosti na magnetické indukci}
\label{graf:rozstepeni}
\end{center}
\end{figure}

Poté jsem určoval opět proud, při kterém nastává rovnoměrné rozdělení čar, ale tentokrát pohledem ve směru magnetického pole, což v tomto uspořádání šlo pouze pro $ \frac{\Delta \beta}{(\Delta \beta)'} = \frac{1}{4} $. Naměřené hodnoty jsou v~tabulce č.~\ref{tab:rovnobezne}. Naměřená střední hodnot proudu, pro který nastane rovnoměrné rozložení je

$$ I'_4 = \left(  7,6 \pm 0,1 \right) \, \mathrm{A}, $$
což odpovídá hodnotě magnetické indukce (pokud uvažujeme kalibraci na počátku měření)

$$ B'_4 = \left( 0,73 \pm 0,01 \right) \, \mathrm{T}. $$

Tomu pak odpovídá rozštěpení čar 

$$ \Delta \lambda'_4 = \left( 14,1 \pm 0,2 \right) \, \mathrm{pm}. $$

Teorie předpovídá, že u~naší desky by měly být čáry rozštěpeny jako při předchozím měření a~to

$$ \Delta \lambda'_{t_4} = \Delta \lambda_{t_4} = 12,1 \, \mathrm{pm}. $$
Je vidět, že toto měření již v rámci chyby neodpovídá teorii, proto jsem se rozhodl provést na konci měření ještě jedno kalibrační měření.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Měření rovnoměrného rozložení spektrálních čar pro pozorování rovnoběžně s $B$} \label{tab:rovnobezne}
\begin{tabular}{r}
\addlinespace
\toprule
$ \frac{\Delta \beta}{(\Delta \beta)'} = \frac{1}{4} $ \\
\midrule
$I$/A \\
7,8 \\
7,6 \\
7,6 \\
7,5 \\
7,4 \\
7,6 \\
7,6 \\
\bottomrule
\end{tabular}%
\end{center}
\end{table}

Na závěr jsem provedl znovu kalibraci pomocí Hallovy sondy, abych zjistil, jestli se v~průběhu experimentu neměnily podmínky. Zaznamenané hodnoty jsou v tabulce č. \ref{tab:kalibrace2} a~v grafu č. \ref{graf:kalibrace2}. Z~naměřených dat je vidět, že v~průběhu experimentu se opravdu podmínky měnily, protože stejné hodnoty magnetické indukce byly naměřeny až pro o zhruba jeden ampér vyšší hodnoty proudu.

\begin{table}
\begin{center}
\caption{Rekalibrace aparatury pomocí Hallovy sondy po skončení měření} \label{tab:kalibrace2}
\begin{tabular}{rr}
\addlinespace
\toprule
$I$/A & $B$/T \\
\midrule
16    & 0,96 \\
10    & 0,81 \\
9     & 0,76 \\
8     & 0,69 \\
7     & 0,61 \\
6     & 0,52 \\
5     & 0,44 \\
6,9   & 0,60 \\
9,1   & 0,76 \\
10,1  & 0,81 \\
11,4  & 0,85 \\
\bottomrule
\end{tabular}%
\end{center}%
\end{table}

\begin{figure}
\begin{center}
\input{grafkalibrace2.tex}
\caption{Rekalibrace aparatury pomocí Hallovy sondy po skončení měření}
\label{graf:kalibrace2}
\end{center}
\end{figure}
