\section{Teoretický úvod}

Ve vzorku zářiče probíhá $\beta^+$ rozpad podle následující rovnice

\begin{equation}
^{22}_{11}\mathrm{Na} \rightarrow \, ^{22}_{10}\mathrm{Ne} + e^+ + \nu_e .  \label{eq:betarozpad}
\end{equation}

Z reakce vyletující pozitrony se pak v látce zpomalí a pak s již nízkou hybností anihiluje s~elektronem

\begin{equation}
e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma  \label{eq:anihilace}
\end{equation}

Vzhledem k tomu, že platí zákon zachování hybnosti a zákon zachování energie, tak fotony gama vyletí v~těžišťové soustavě přesně proti sobě (o $\varphi = 180°$), přičemž mají přesně stejnou energii $511 \, \mathrm{keV}$ . A~vzhledem k tomu, že elektron a pozitron mají relativně nízkou kinetickou energii oproti své klidové energii, tak v laboratorní soustavě budou také fotony vyletujícího gama záření svírat úhel 180°.

Při měření předpokládáme, že zdroj záření je bodový. Zanedbat rozměry detektorů naproti tomu nemůžeme. Detektor totiž přijímá signál z celé detekční plochy a kvůli způsobu funkce aparatury je jediná informace, kterou získáme, jestli nějaká dostatečně energetická částice vletěla do detektoru. Pokud použijeme detektory, které sbírají signál z~obdélníkové plochy, pak naměřený počet koincidencí $p\left( \alpha \right)$ by měl být nepřímo úměrný úhlové odchylce od přímého úhlu $\alpha = \varphi - 180°$ - rozdělení by mělo být trojúhelníkové

\begin{equation}
p\left( \alpha \right) = -K \left| \alpha \right| + K_0 ,  \label{eq:obdelnik}
\end{equation}

kde $K_0$ je počet koincidencí při přímém úhlu a $K$ je konstanta odpovídající rozměrům obdélníka a~vzdálenosti mezi detektory. Pokud by mělo $p\left( \alpha \right) \leq 0$, pak $p\left( \alpha \right) \equiv 0$. V případě, že použijeme detektory, které mají detekční plochu ve tvaru kruhu, pak pokles v~závislosti na úhlu by měl být ještě rychlejší než u~čtverce, který by měl stejnou délku strany, jako kruh poloměr. Měření ovšem bude ovlivňovat také Comptonův rozptyl.

Počet náhodných koincidencí $N_A$ pro dva detektory s četnostmi $N_1$ a $N_2$ je

\begin{equation}
N_A = 2 N_1 N_2 \tau,  \label{eq:nahoda}
\end{equation}

kde $\tau$ je rozlišovací doba koincidenčního zařízení.
