\section{Teoretický úvod}

Umístíme-li částici do konstantního magnetického pole s indukcí $\vec B_0$, bude jádro částice, v našem případě vodíku, vykonávat Larmorovu precesi s úhlovou rychlostí

\begin{equation}
\vec \omega_0 = \gamma \vec B_0,  \label{eq:uhlova0}
\end{equation}

kde $\gamma$ značí tzv. gyroskopický poměr. Mezi frekvencí a úhlovou frekvencí pohybu platí jednoduchý vztah $f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi}$. Pokud by v magnetickém poli bylo umístěno pouze jedno jádro, pak by rotovalo stále s Larmorovou precesí, ale protože je v látce mnoho jader a navzájem se také ovlivňují, takže lokální hodnoty magnetického pole jsou odlišné, což vyvolává časovou změnu (relaxaci) magnetizace $M(t)$ potom, co těsně po rychlé změně získal vzorek magnetizaci $M_0$.


\begin{equation}
M^\parallel(t)=M_0^\parallel \left( 1 - e^{-\frac{t}{T_1}} \right) , \label{eq:magnetizaceparal}
\end{equation}

kde $T_1$ je spin-mřížková relaxační doba. Spin-mřížková je, protože dochází k ztrátě energie jader, která se přenáší na jiné stupně volnosti - např. na kmity mřížky atd.

Pokud následně rychle změníme orientaci vnějšího pole působícího na již zrelaxovaný vzorek, tak složky magnetizace kolmé na takto vzniklé nové externí pole postupně vymizí - jedná se tentokrát o spin-spinovou relaxaci, kterou můžeme popsat

\begin{equation}
M^\perp(t) = M^\perp_0 e^{-\frac{t}{T_2}} \label{eq:magnetizacekolmo}
\end{equation}

Pro experiment NMR se pak používá ještě druhé, kruhově polarizované, proměnné magnetické pole $B_1$ a to s takovou frekvencí, aby nastala rezonance jádra. Magnetické momenty jader v~rezonanci pak začnou rotovat s úhlovou frekvencí $\omega_1 = \gamma B_1$. Pro délku pulzu pak má platit

\begin{equation}
\omega_1 \tau_m = {{\pi + 2k}\over 2} \qquad k \in \mathbb{Z},  \label{eq:podminkaomega1}
\end{equation}

aby se magnetické momenty natočily akorát do směru kolmého na $\vec B_0$ a magnetizace v případě vypnutí pole byla maximální. Pokud by součin úhlové frekvence s~časem byl naopak celočíselným násobkem $\pi$, pak by magnetizace byla minimální. Pro maximální magnetizaci bude amplituda signálu

\begin{equation}
A=A_0 \left| \sin \left( \omega_1 \tau_m \right) \right|. \label{eq:amplitudasinova}
\end{equation} 

Vzhledem k tomu, že pole $B_0$ je vytvářeno permanentním magnetem s ne zcela homogenním polem, pak dochází k~relativně rychlému rozfázování jednotlivých precesí jader a rozmývají se do "vějíře". Takto pak navenek vymizí celková magnetizace. Pokud ovšem na vzorek aplikujeme další pulz - tentokrát $\pi$ pulz na rozdíl od předchozího $\frac{\pi}{2}$ pulzu - se zpožděním $t_{12}$. Dojde k otočení magnetických momentů a přitom se nezmění rychlost jejich rotace. Potom dojde ke "sběhnutí vějířku" zase do kompaktní formy, kdy se objeví kolem doby $2 t_{12}$ spinové echo. Platí pro něj

\begin{equation}
A(t_{12})\approx e^{-\frac{2t_{12}}{T_2}}. \label{eq:spinoveecho}
\end{equation}

Kromě signálu měříme při experimentu také šum, který je náhodnou veličinou a má střední hodnotu $0$ a určitý rozptyl, který závisí na počtu měření $N$ jako 

\begin{equation}
\sigma = \frac{1}{\sqrt{N}}.  \label{eq:rozptyl}
\end{equation}
